안녕 일붕이들아! 저번 글에서 정규직교기저까지 알아봤지?

이번에는 함수, 그중에서도 주기가 2pi인 주기함수를 벡터처럼 다뤄볼거야. 그러기 위해서는 함수와 함수의 내적을 정의할거야.

좀 뜬금없지만, 함수 f와 g의 내적을 이렇게 정의하자.

이로부터 정규직교기저 1/sqrt(2), sin x, sin 2x, sin 3x, ..., cos x, cos 2x, cos 3x, ...을 얻을 수 있어. 정규성과 직교성은 그냥 적분해보면 금방 알 수 있고, 수렴성(얘들의 선형결합으로 주기가 2pi인 주기함수를 진짜로 다 표현할 수 있는지)은... 직접 찾아봐. 여기서 설명하기에는 TMI임.

그러면 모든 주기함수는

의 형태로 표현할 수 있겠지? (모종의 사유로 1 / sqrt(2) 대신 cos 0x = 1을 썼는데, 1 / 2배를 해준건 일반화를 위한 큰그림임) 이를 푸리에 급수라고 해. 그러면 이제 { an }과 { bn }은 지난 글에서 했던 것처럼 내적을 통해 얻을 수 있을거야.

항을 늘릴수록 수렴하는 모습이 보이지? 참고로 Processing 언어로 만든거임.

그런데 여기서, an cos nx + bn sin nx는 적절한 k에 대해 sqrt(an ^ 2 + bn ^ 2) sin n(x - k)로 나타낼 수 있어. 그렇다는 말은 주기가 2pi인 모든 주기함수는 sin x, sin 2x, sin 3x, ...을 실수배 & 평행이동 시킨 후 합해서 얻을 수 있겠지? 그럼 결론적으로 주기가 2pi인 주기함수는 모두 사인파의 결합으로 나타낼 수 있겠다.

우리의 최종 목표인 '푸리에 변환'은 이 '푸리에 급수'의 응용이야. 차이점이 있다면, 범위가 무한대고, 기저가 삼각함수가 아니라 지수함수야. 지수함수로 어떻게 삼각함수를 대체하냐고? 그건 '푸리에 변환'편에서 계속하자.

참고로 책같은데서 보면 범위가 -pi부터 pi까지나 0부터 1인것도 있는데, 다 같은소리 하는거니까 걱정ㄴㄴ

념글 가고싶어요...